Materi Logika, di dalam Matematika
(Sumber: Ms. Anis & Okto. 2013. Teacher Mathematics. Ponorogo: Senior High School 1 Ponorogo.)
A) Negasi (Ingkaran). Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~p: tidak p
| P | ~p |
| B | S |
| S | B |
B) Operator Logika
1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.
p˄q: p dan q
2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”
pVq: p atau q
3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …,”
P=>q: jika p maka q
4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …”
Póq: p jika dan hanya jika q
C) Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
| (Premis 1) P | (Premis 2) q | (Konjungsi) P^q | (Disjungsi) pVq | (Implikasi) P=>1 | Biimplikasi P óq |
| B | B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | S | B | B | S |
| S | S | S | S | B | B |
Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal
1) konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar
2) Disjungsi akan bernilai sala (S), jika kedua premis salah
3) Impikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S)
4) Biimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar
D) Konvers, Invers dan Kontraposisi
Bila terdpat bentuk implikasi: p ó q, maka diperoleh tiga pengembangannya adalah sebagi berikut:
| Implikasi | Invers | konvers | kontraposisi |
| P=>q | ~p=>~q | q=>p | ~q=>~p |
Kesimpulan:
1) Invers adalah negasi dari implikasi
2) Konvers adalah kebalikan dari implikasi
3) Kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi
E) Pernyataa yang Equivalen (sama)
1) implikasi≡ kontraposisi: p=>q≡~q=>p
2) konvers≡ invers: q=>p≡~p=>~q
3) ~(p^q)≡~pv~q: ingkaran dari konjungsi
4) ~p(pvq) ≡~p^~q: ingkaran dari disjungsi
5) ~(p=>q) ≡p^~q: ingkarn dari implikasi
6) p=>q≡~pVq
7) ~(póq) ≡(p^~q)v(q^~p): ingkaran dari biimplikasi
F) Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
Ø Kuantor universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “Vx” dibaca “untuk semua nilai x”
Ø Kuantor Eksistensial adalah pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “Ǝx” dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”
Ø Ingkaran dari pernyataan berkuantor
1) ~(Vx)≡Ǝ(~x)
2)~(Ǝx)≡V(~x)
G) Penarikan Kesimpulan, ada 3 yakni:
1) Modus Ponens (MP)
P=>1 : premis 1
P : premis 2
______
Q : kesimpulan
2) Modus Tollens (MT)
P=>1 : premis 1
~q : premis 2
_____
~p : kesimpulan
3) Silogisme
P=>q : premis 1
q=>r : premis 2
_____
P=>r : kesimpulan
Soal Pertama:
1) Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dinyatakan degnan (~p^q)=>~q, pada table berikut adalah ….
| P | Q | (~p^q)=>~q |
| B | B | … |
| B | S | … |
| S | B | … |
| S | S | … |
Jawaban: BBSB
2) Perhatikan table nilai kebenaran berikut
| P | Q | ~p=>q |
| B | B | ... |
| B | S | …. |
| S | B | … |
| S | S | … |
Jawab: BBBS
3) Pernyataan berikut yang bernilai salah adalah…
Jawab: ada bilangan prima yang habis dibagi 3 dan 1+3<4
4) Diketahui: “P” pernyataan bernilai benar dan “q” pernyataan bernilai salah. Implikasi di bawah yang bernilai salah adalah….
Jawab: ~q=>~p
5) Jika diketahui pernyataan “p” benar dan “q” salah, makah pernyataan di bawah ini yang benar adalah …
Jawab: ~póq
Soal kedua:
1) Ingkaran dari peryataan “beberapa siswa memakai kacamata” adalah….
Jawab; semua siswa tidak memakai kacamata
2) Ingkaran dari “Semua bunga harum baunya dan hijau daunnya” adalah ….
Jawab: beberapa bunga tidak harum baunya atau tidak hijau daunnya
3) Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah ….
Jawab: 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9
4) Negasi dari pernyataan: “Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung” adalah …
Jawab: Hari ini hujan atau saya membawa payung.
5)Negasi dari pernyataan “Ani senang bernanyi dan tidak senang olahraga” adaalah …
Jawab: Ani tidak senang bernyanyi atau tidak senang olahraga
6) Negasi dari pernyataan: “permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik” adalah….
Jawab: permintaan terhadap sebuah produk tidak tinggi atau harga barang tidak naik
7) Negasi dari pernyataan “Saya bukan pelajar kelas XII Sosial atau saya ikut Ujian Nasional” adalah ….
Jawab: saya pelajar kelas XII Sosial dan saya tidak ikut Ujian Nasional.
8) Ingkaran dari pernyataan “Harga minyak turun, tetapi harga sembako tinggi” adalah …
Jawab: Harga minyak tidak turun atau harga sembako tidak tinggi
9) Negasi dari pernyataan: “Jika Agus mendapat nilai jelek maka ia tidak mendapat uang saku” adalah ….
Jawab: Agus mendapatkan nilai jelek tetapi ia mendapatkan uang saku.
10) Ingkaran dari pernyataan “Jika saya lulus Sekolah Menengah Atas maka saya melanjutkan ke jurusan bahasa” adalah ….
Jawab: Saya lulus Sekolah Menengah Atas dan saya tidak melanjutkan ke jurusan bahasa.
11) Ingkaran dari pernyataan “Jika hari ini hujan maka Lila tidak berangkat ke sekolah”, adalah …
Jawab: Hari hujan tetapi Lila berangkat ke sekolah
12) Bambang menyatakan: “jika ada guru yang tidak hadir maka semua siswa sedih dan prihatin”, ingkaran dari pernyataan Bambang tersebut adalah …
Jawab: Ada guru yang tidak hadir dan semua siswa sedih dan prihatin.
13) Negasi dari pernyataan “Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka ria” adalah
Jawab: ualngan tidak jadi dan ada murid tidak suka ria
Soal Ketiga:
1) Diberikan pernyataan sebagai berikut:
a) Jika Barkun menguasai bahasa asing maka Barkun mengelilingi dunia.
b) Barkun menguasai bahasa asing.
Kesimpulan dari dua pernyataan di atas adalah ….
Jawab: Barkun mengelilingi dunia
2) Diketahui premis:
Premis Pertama: jika guru matematika tidak datang maka semua siswa senang
Premis Kedua: ada siswa yang tidak senang
Kesimpulan yang sah dari premis di atas adalah….
Jawab; guru matematika datang
4) Perhatikan premis berikut
Premis Pertama; jika Sudarmanto taat membayar pajak maka Sudarmanto warga yang bijak
Premis Kedua: Sudarmanto bukan warga yang bijak
Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah….
Jawab: Sudarmanto tidak membayar pajak dan Sudarmanto bukan warga yang bijak
5) Diketahui:
Premis Pertama; Jika nilai tukar dolar Amerika terhadap mata uang Rupiah naik maka harga emas naik.
Premis kedua: harga emas tidak naik
Penarikan kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah:
Jawab: nilai tukar dolar terhadap Amerika terhadap mata uang Rupiah naik atau harga emas tidak naik.
6) Diketahui premis berikut:
Premis Pertama: Jika Mudjioono naik kelas maka ranking satu maka ia berlibur ke Pyongyang
Premis Kedua: Mudjiono tidak berlibur ke Pyongyang
Kesimpulan yang sah adalah…
Jawab: Mudjiono tidak naik kelas atau tidak ranking Saturday
7) Diketahui:
Premis Pertama: jika Hartono belajar maka ia lulus ujian
Premis Kedua: jika Hartono lulus ujian maka ayah membelikan sepeda
Kesimpulan dari argumentasi di atas adalah ….
Jawab; jika Hartono tidak rajin belajar maka ayah membelikan sepeda
8) Pernyataan berikut dianggap benar:
a) Jika lapisan ozon di atmosfer menipis maka suhu meningkat
b) Jika suhu bumi meningkat maka keseimbangan alam terganggu
pernyataan yang merupakan kesimpulan yang logis adalah…
Jawab: jika lapisan ozon di atmosfer menipis maka keseimbangan alam tidak terganggu
9) Diketahui premis:
a) Jika pengendara taat aturan, maka lalu lintas lancar
b) jika lalu lintas lancar maka saya tidak terlambat ujian
Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah …
Jawab: pengendara taat aturan dan saya terlambat ujian
Tidak ada komentar:
Posting Komentar