KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL

BAB II

PEMBAHASAN

KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL

1.      Kuartil

Istilah kuartil dalam kehidupan kita sehari-hari lebih dikenal dengan istilah kuartal.

            Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam empat bagian yang sama besar, yaitu masing masing sebesar ¼ N. jadi disini akan kita jumpai tiga buah kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). Ketiga kuartil inilah yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki menjadi empat bagian yang sama besar, masing-masing sebesar ¼ N, seperti terlihat dibawah ini

            Jalan pikiran serta metode yang digunakan adalah sebagaimana yang telah kita lakukan pada saat kita menghitung median. Hanya saja, kalau median membagi seluruh distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar, maka kuartil membagiseluruh distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar.
Jika kita perhatikan pada kurva tadi, maka dapat ditarik pengertian bahwa Q2 adalah sama dengan Median(2/4 N=1/2 N).

            Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut:

v  untuk data tunggal

 Q­­­­­n = 1 + ( n/4N-fkb)

                     fi

v  untuk data kelompok

Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i

            Fi

Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga buah, maka n dapat diisi dengan bilangan: 1,2, dan 3.

1 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).

N= Number of cases.

Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung Qn.

Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Qn).

i= interval class atau kelas interval.

Catatan: - istilah skor berlaku untuk data tunggal.

  - istilah interval berlaku untuk data kelompok.

Berikut ini akan dikemukakan masing-masing sebuah contoh perhitungan kuartil ke-1, ke-2, dan ke-3 untuk data yang tunggal dan kelompok.

1). Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal

            Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang studi Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini. Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi dalam empat bagian yang sama besar), maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:

Table 3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil Ebta dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa MAN jurusan ipa, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3.

Nilai (x)

F

Fkb

46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35

2 2 3 5 F1 (8) 10 F1 (12) F1 (6) 5 4 2 1

60= N 58 56 53 48 40 30 18 12 7 3 1

Ø  Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12)

                        Fi                           6

= 38,50 +0,50

= 39

Ø  Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18

Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18)

                        Fi                                  12

= 39,50 +1,0

= 40,50

Ø  Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40

Q3 = 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40)

                        Fi                                  8

= 41,50+ 0,625

= 42,125

2). Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok

            Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam bidan studi tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi beikut ini ( lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:

Ø  Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 34,50 +(20-13)  X5

                        Fi                                       7

= 34,50 +5

= 39,50

Ø  Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 44,50 +(40-35)  X5

                        Fi                                       17

= 44,50 +1.47

= 45,97

Ø  Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 54,50 +(55-59)  X5

                        Fi                                       7

= 54,50 + 0,71

= 55,21

Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA bidang studi tata buku dari 80 orang siswa man jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3.

Nilai (x)	F	Fkb
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24	3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2	80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2
Total	80= N	-

Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

1). Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal.

2). Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling positif).

3). Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling negatif).

2. Desil

Desil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke dalam 10 bagian yang sama besar, yang masing-masing sebesar 1/10 N. jadi disini kita jumpai sebanyak 9 buah titik desil, dimana kesembilan buah titik desil itu membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam 10 bagian yang sama besar.

Lambing dari desil adalah D. jadi 9 buah titik desil dimaksud diatas adalah titik-titik: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, dan D9.

Perhatikanlah kurva dibawah ini:

Untuk mencari desil, digunakan rumus sebagai berikut:

Dn= 1 +(n/10N – fkb)

                        Fi

Untuk data kelompok:

Dn= 1+ (n/10N- fkb) xi

                        Fi

Dn= desil yang ke-n (disini n dapat diisi dengan bilangan:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9.

1= lower limit( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung desil ke-n).

N= number of cases.

Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung desil ke-n.

Fi= frekuensi dari skor atau interval yang mengandung desil ke-n, atau frekuensi aslinya.

i=interval class atau kelas interval.

1). Contoh perhitungan desil untuk data tunggal

            Misalkan kita ingin mencari desil ke-1, ke-5, dan ke-9 atau D1, D5, dan D9 dari data yang tertera pada table yang telah dihitung Q1, Q2, dan Q3-nya itu.

Ø  Mencari D1:

Titik D1= 1/10N= 1/10X60= 6 (terletak pada skor 37). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 5,50; fi= 4, dan fkb= 3.

D1= 1 + (1/10N-fkb) ---D1=36,50 (6-3)

                        Fi                                 4

            = 36,25

Ø  Mencari D5:

Titik D5= 5/10N= 5/10X60= 30 (terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 12, dan fkb= 18.

D1= 1 + (5/10N-fkb) ---D1=39,50 (30-18)

                        Fi                                 12

            = 40,50

Ø  Mencari D9:

Titik D9= 9/10N= 9/10X60= 54 (terletak pada skor 44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 43,50; fi= 3, dan fkb= 53.

D1= 1 + (9/10N-fkb) ---D1= 43,50 (54-53)

                        Fi                                 3

            = 43,17

Tabel 3.13. Perhitungan desil ke-1, desil ke-5 dan desil ke-9 dari data yang tertera pada table (diatas)  kuartil.

Nilai (x)

F

Fkb

46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35

2 2 3 5 8 10 12 6 5 4 2 1

60= N 58 56 53 48 40 30 18 12 7 3 1

2). Contoh perhitungan desil untuk data kelompok

            Misalkan kita ingin mencari D3 dan D7 dari data yang tercantum pada table 3.12, proses perhitungannya adalah sebagai berikut:

Table 3.14. Perhitungan desil ke-3 dan desil ke-7 dari data yang tertera pada table 3.12.

Nilai (x)	F	Fkb
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24	3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2	80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2
Total	80= N	-

Ø  Mencari D3:

Titik D3= 3/10N= 3/10X80= 24 (terletak pada interval 40-44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 15, dan fkb= 20.

D3= 1 + (3/10N-fkb) xi=39,50 (24-20) x 5

                        Fi                           15

            = 39,50+ 20= 39,50 + 1,33= 40,83

                           15

Ø  Mencari D7:

Titik D7= 7/10N= 7/10X80= 56 (terletak pada interval 50-54). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 49,50; fi= 7, dan fkb= 52.

D7= 1 + (7/10N-fkb) xi=49,50 (50-54) x 5

                        Fi                           7

            = 49,50+ 20= 49,50 + 2,86= 40,83

                            7

            Diantara kegunaan desil ialah untuk menggolongkan-golongkan suatu distribusi data ke dalam sepuluh bagian yang sama besar, kemudian menempatkan subjek-subjek penelitian ke dalam sepuluh golongan tersebut.

3. Persentil

Persentil yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Karena itu persentil sering disebut ukuran perseratusan.

      Titik yang membagi distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar itu ialah titik-titik: P1, P2, P3, P4, P5, P6, … dan seterusnya, sampai dengan P99. jadi disini kita dapati sebanyak 99 titik persentil yang membagi seluruh distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar, masing-masing sebesar 1/ 100N atau 1%, seperti terlihat pada kurva dibawah ini:

Untuk mencari persentil digunakan rumus sebagai berikut:

Untuk data tunggal:

Pn= 1 +(n/10N – fkb)

                        Fi

Untuk data kelompok:

Pn= 1+ (n/10N- fkb) xi

                        Fi

Pn= persentil yang ke-n (disini n dapat diisi dengan bilangan-bilangan:1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya sampai dengan 99.

1= lower limit( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung persentil ke-n).

N= number of cases.

Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung persentil ke-n.

Fi= frekuensi dari skor atau interval yang mengandung persentil ke-n, atau frekuensi aslinya.

i= interval class atau kelas interval.

Tabel. 3.15. Perhitungan persentil ke-5, persentil ke-20 dan persentil ke-75 dari data yang tertera pada tabel 3.13.

Nilai (x)	F	Fkb
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24	3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2	80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2
Total	80= N	-

1). Contoh perhitungan desil untuk data tunggal

            Misalkan kita ingin mencari persentil ke-5 (P5), persentil ke-20 (P20), dan ke-75 (P75),dari data yang disajikan pada tabel 3.13 yang telah dihitung desilnya itu. Cara menghitungnya adalah sebagai berikut:

Ø  Mencari persentil ke-5 (P5):

Titik P5= 5/10N= 5/10X60= 3 (terletak pada skor 36). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 35,50; fi= 2, dan fkb= 1.

P5= 1 + (5/10N-fkb) =36,50 +(3-1)

                        Fi                        2

            = 36,50

Ø  Mencari persentil ke-75 (P75):

Titik P75= 75/10N= 75/10X60= 45 (terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi= 8, dan fkb= 40

P75= 1 + (75/10N-fkb) =41,50 +(45-40)

                        Fi                           8

            = 42,125

2). Cara mencari persentil untuk data kelompok

            Misalkan kembali ingin kita cari P35 dan P95 dari data yang disajikan pada tabel 3.14.

Ø  Mencari persentil ke-35 (P35):

Titik P35= 35/100N= 35/100X80= 28 (terletak pada interval 40-44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 15, dan fkb= 20, i=5

P35= 1 + (35/100N-fkb) Xi =39,50 +(45-40) X 5

                        Fi                                      8

            = 39,50+2,67

            = 42,17

Ø  Mencari persentil ke-95 (P95):

Titik P95= 95/100N= 95/100X80= 76 (terletak pada interval 65-69). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 64,50; fi= 5, dan fkb= 72, i=5

P95= 1 + (95/100N-fkb) Xi =64,50 +(65-69) X 5

                        Fi                                      5

            = 64,50+4

            = 68,50

Tabel 3.16. Perhitungan persentil ke-35 dan persentil ke-95 dari data yang tertera pada tabel 3.14.

Nilai (x)	F	Fkb
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24	3 5 6 7 7 17 15 7 6 5 2	80 77 72 66 59 52 35 20 13 7 2
Total	80= N	-

            Kegunaan persentil dalam dunia pendidikan adalah:

1. Untuk mengubah rawa score (raw data) menjadi standard score (nilai standar).

Dalam dunia pendidikan, salah satu standard score yang sering digunakan adalah eleven points scale ( skala sebelas nilai) atau dikenal pula dengan nama standard of eleven (nilai standard sebelas) yang lazim disingkat dengan stanel.

Pengubahan dari raw score menjadi stanel itu dilakukan dengan jalan menghitung: P1- P3- P8- P21- P39- P61- P79- P92- P97- dan P99.

Jika data yang kita hadapi berbentuk kurva normal (ingat: norma atau standar selalu didasarkan pada kurva normal itu), maka dengan 10 titik persentil tersebut diatas akan diperoleh nilai-nilai standar sebanyak 11 buah, yaitu nilai-nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10.

2. Persentil dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik, yaitu: pada persentil keberapakah anak didik itu memperoleh kedudukan ditengah-tengah kelompoknya.
3. Persentil juga dapat digunakan sebagai alat untuk menetapkan nilai batas lulus pada tes atau seleksi.

Misalkan sejumlah 80 orang individu seperti yang tertera pada tabel 3.16. itu hanya akan diluluskan 4 orang saja (=4/ 80 X 100%= 5%) dan yang tidak akan diluluskan adalah 76 orang (= 76X80 X 100%=95%), hal ini berarti bahwa P95 adalah batas nilai kelulusan. Mereka yang nilai-nilainya berada pada P95 kebawah, dinyatakan tidak lulus, sedangkan diatas P95 dinyatakan lulus. Dalam perhitungan diatas telah kita peroleh P95= 68,50; berarti yang dapat diluluskan adalah mereka yang nilainya diatas 68,50 yaitu nilai 69 ke atas.

4. Saling hubungan antara kuartil, desil, dan persentil.

            Sebelum mengakhiri pembicaraan tentang kuartil, desil, dan persentil perlu kiranya ditambahkan bahwa diantara ketiga ukuran statistic tersebut terdapat saling hubungan, seperti terlihat dibawah ini:

1. P90 = D9
2. P80 = D8
3. P75 = Q3
4. P70 = D7
5. P60 = D6
6. P50 = D5 = Q2 = Median
7. P40 = D4
8. P30 = D3
9. P25 = Q1
10. P20 = D2
11. P10 = D1